De pontos fixos a soluções de EDOs: a ideia de Banach

Motivação

Na maioria dos cursos de Equações Diferenciais Ordinárias no Brasil, a existência e unicidade das soluções aparecem como um fato a ser aceito pelo aluno. Depois de aprender a resolver algumas famílias conhecidas de equações, o aluno encontra o método de Picard: define-se uma sequência de funções, iteram-se algumas estimativas e afirma-se que a sequência converge para uma única solução.

Foi assim que eu primeiro aprendi o teorema de Cauchy–Lipschitz. O método funcionava, mas sua lógica permanecia escondida nos cálculos. Por que as aproximações deveriam convergir? Por que o limite seria uma solução? E, sobretudo, por que o mesmo procedimento também provaria a unicidade?

Quando eu novamente estudei equações diferenciais na França, encontrei uma nova abordagem para essa teoria. Antes de Picard, demonstra-se um resultado geral de análise: o teorema do ponto fixo de Banach. Em seguida, o problema de valor inicial é transformado numa equação integral, que por sua vez define uma aplicação sobre um espaço de funções. Resolver a EDO passa a significar encontrar um ponto fixo dessa aplicação.

Desse ponto de vista, o método de Picard deixa de ser uma construção particular das equações diferenciais. Ele é simplesmente o método das aproximações sucessivas aplicado a uma contração. É essa ligação que quero tornar explícita neste texto, partindo das noções de espaço métrico e completude até chegar ao teorema local de Cauchy–Lipschitz.

O problema de valor inicial

Sejam $I\subseteq\mathbb{R}$ um intervalo, $U\subseteq\mathbb{R}^n$ um aberto e

$$f:I\times U\longrightarrow\mathbb{R}^n.$$

Fixados um instante $t_0\in I$ e um estado $x_0\in U$, consideramos o problema

$$\begin{cases} \dot{x}(t)=f(t,x(t)),\\ x(t_0)=x_0. \end{cases}$$

Esse é um problema de valor inicial, também chamado de problema de Cauchy. Se $J\subseteq I$ é um intervalo que contém $t_0$, dizemos que

$$x:J\longrightarrow U$$

é uma solução em $J$ quando $x\in C^1(J,U)$ e

$$x(t_0)=x_0, \qquad \dot{x}(t)=f(t,x(t)) \quad\text{para todo }t\in J.$$

O próprio intervalo $J$ faz parte da solução. Antes de procurar uma fórmula explícita para $x$, há duas perguntas mais fundamentais.

Existência. Há algum intervalo em torno de $t_0$ no qual uma solução esteja definida?

Unicidade. Se duas soluções passam pelo mesmo ponto $(t_0,x_0)$, elas necessariamente coincidem perto de $t_0$?

O teorema de Cauchy–Lipschitz responde afirmativamente às duas perguntas sob hipóteses adequadas sobre $f$. A resposta é local: ela vale, a princípio, apenas em algum intervalo ao redor do instante inicial.

Da equação diferencial à equação integral

O primeiro passo é elementar, mas muda completamente a forma de olhar para o problema.

Lema. Suponha que $f$ seja contínua. Uma função contínua $x:J\to U$ resolve o problema de Cauchy se, e somente se,

$$x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f(s,x(s))\,ds \qquad\text{para todo }t\in J.$$

Demonstração. Se $x$ é solução, o teorema fundamental do cálculo fornece

$$x(t)-x(t_0) = \int_{t_0}^{t}\dot{x}(s)\,ds = \int_{t_0}^{t}f(s,x(s))\,ds.$$

Usando $x(t_0)=x_0$, obtemos a fórmula integral. Reciprocamente, se a fórmula vale, a continuidade de $f$ permite derivá-la. Assim,

$$\dot{x}(t)=f(t,x(t)),$$

e, tomando $t=t_0$, recuperamos a condição inicial.

A vantagem dessa formulação é que a incógnita deixa de aparecer sob uma derivada. Podemos agora definir uma aplicação que recebe uma curva $y$ e devolve outra curva:

$$\Phi(y)(t) = x_0+\int_{t_0}^{t}f(s,y(s))\,ds.$$

Resolver o problema de Cauchy equivale, portanto, a encontrar uma função $x$ tal que

$$\Phi(x)=x.$$

Em outras palavras, procuramos um ponto fixo de $\Phi$. Falta-nos, então, escolher um espaço de funções no qual essa aplicação esteja bem definida e seja contrativa.

Espaços métricos e completude

Como $\Phi$ atua sobre funções, precisamos medir a distância entre duas funções. Também precisamos garantir que, quando as aproximações se tornam arbitrariamente próximas, seu limite continue pertencendo ao espaço considerado. É exatamente isso que as noções de distância e completude formalizam.

Distâncias e espaços métricos

Definição. Seja $X$ um conjunto. Uma aplicação

$$d:X\times X\longrightarrow[0,+\infty)$$

é uma distância sobre $X$ se, para todos $x,y,z\in X$,

$$\begin{aligned} d(x,y)=0 &\quad\Longleftrightarrow\quad x=y &&\text{(separação)},\\ d(x,y)&=d(y,x) &&\text{(simetria)},\\ d(x,z)&\leq d(x,y)+d(y,z) &&\text{(desigualdade triangular)}. \end{aligned}$$

O par $(X,d)$ é chamado de espaço métrico.

Uma sequência $(x_n)_{n\geq0}$ converge para $x\in X$ quando

$$d(x_n,x)\longrightarrow0.$$

Já uma sequência de Cauchy é uma sequência cujos termos se aproximam entre si:

$$\forall\varepsilon>0,\quad \exists n_0\in\mathbb N,\quad \forall n,m\geq n_0,\quad d(x_n,x_m)<\varepsilon.$$

Toda sequência convergente é de Cauchy. De fato, se $x_n\to x$, então, para $n$ e $m$ suficientemente grandes,

$$d(x_n,x_m) \leq d(x_n,x)+d(x,x_m) <\varepsilon.$$

A recíproca não é verdadeira em qualquer espaço. Uma sequência pode aproximar-se indefinidamente de um objeto que não pertence ao espaço onde ela foi construída. É essa possibilidade que a completude elimina.

Espaços métricos completos

Definição. Um espaço métrico $(X,d)$ é completo quando toda sequência de Cauchy em $X$ converge para um elemento de $X$.

O exemplo clássico é a diferença entre $\mathbb Q$ e $\mathbb R$. Uma sequência de números racionais pode ser de Cauchy e convergir, em $\mathbb R$, para um número irracional. Por isso, $\mathbb Q$ não é completo com a distância usual.

No nosso problema, a completude terá uma função precisa: depois de provarmos que as aproximações sucessivas formam uma sequência de Cauchy, ela garantirá que o limite existe e ainda é uma função no espaço que definimos.

O espaço de Banach das funções contínuas

Seja

$$J=[t_0-a,t_0+a]$$

um intervalo compacto. Denotamos por $C(J;\mathbb R^n)$ o espaço das funções contínuas de $J$ em $\mathbb R^n$. Nesse espaço, usamos a norma da convergência uniforme:

$$\lVert y\rVert_\infty = \sup_{t\in J}|y(t)|.$$

A distância associada é

$$d_\infty(y,z) = \lVert y-z\rVert_\infty = \sup_{t\in J}|y(t)-z(t)|.$$

Essa escolha controla simultaneamente a diferença entre duas curvas em todos os instantes de $J$. Um espaço vetorial normado e completo é chamado de espaço de Banach.

Teorema. O espaço

$$\bigl(C(J;\mathbb R^n),\lVert\cdot\rVert_\infty\bigr)$$

é um espaço de Banach.

Demonstração. Seja $(y_n)_{n\geq0}$ uma sequência de Cauchy para a norma uniforme. Para cada $t\in J$,

$$|y_n(t)-y_m(t)| \leq \lVert y_n-y_m\rVert_\infty.$$

Logo, $(y_n(t))_{n\geq0}$ é de Cauchy em $\mathbb R^n$ e podemos definir

$$y(t)=\lim_{n\to+\infty}y_n(t).$$

Passando ao limite na estimativa uniforme que define a propriedade de Cauchy, obtemos

$$\lVert y_n-y\rVert_\infty\longrightarrow0.$$

Portanto, $y_n$ converge uniformemente para $y$. Como o limite uniforme de funções contínuas é contínuo, temos $y\in C(J;\mathbb R^n)$. Assim, o espaço é completo.

Contrações e o teorema do ponto fixo de Banach

Aplicações contrativas

Definição. Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Uma aplicação $g:X\to X$ é contrativa quando existe $k\in[0,1)$ tal que

$$d(g(x),g(y)) \leq k\,d(x,y)$$

para todos $x,y\in X$. Equivalentemente, $g$ é $k$-Lipschitz com $k<1$.

O ponto decisivo é a desigualdade estrita $k<1$: a cada aplicação de $g$, as distâncias diminuem por um fator uniforme. Se $x\in X$ satisfaz $g(x)=x$, dizemos que $x$ é um ponto fixo de $g$.

Teorema do ponto fixo de Banach

Teorema. Seja $(X,d)$ um espaço métrico completo e não vazio, e seja $g:X\to X$ uma aplicação contrativa. Então $g$ possui um único ponto fixo em $X$.

Além de afirmar a existência do ponto fixo, o teorema fornece uma maneira de encontrá-lo.

Demonstração: existência por aproximações sucessivas

Escolha $x_0\in X$ e defina

$$x_{n+1}=g(x_n), \qquad n\geq0.$$

Aplicando repetidamente a hipótese de contração,

$$d(x_{n+1},x_n) \leq k^n d(x_1,x_0).$$

Se $m>n$, a desigualdade triangular dá

$$\begin{aligned} d(x_m,x_n) &\leq\sum_{j=n}^{m-1}d(x_{j+1},x_j)\\ &\leq\sum_{j=n}^{m-1}k^j d(x_1,x_0)\\ &\leq\frac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0). \end{aligned}$$

Como $k<1$, o último termo tende a zero quando $n\to+\infty$. A sequência $(x_n)$ é, portanto, de Cauchy. Pela completude de $X$, existe $x_\infty\in X$ tal que $x_n\to x_\infty$.

Toda contração é contínua. Assim,

$$g(x_\infty) =g\left(\lim_{n\to+\infty}x_n\right) =\lim_{n\to+\infty}g(x_n) =\lim_{n\to+\infty}x_{n+1} =x_\infty.$$

Logo, $x_\infty$ é um ponto fixo de $g$.

A demonstração ainda fornece uma estimativa do erro. Fazendo $m\to+\infty$ na desigualdade anterior,

$$d(x_\infty,x_n) \leq \frac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0).$$

Demonstração da unicidade

Se $x$ e $y$ são pontos fixos de $g$, então

$$d(x,y) =d(g(x),g(y)) \leq k\,d(x,y).$$

Como $k<1$, isso só é possível se $d(x,y)=0$. Portanto, $x=y$.

Temos agora todo o mecanismo que será usado na EDO. A contração faz as aproximações se aproximarem umas das outras, a completude fornece o limite e a continuidade mostra que esse limite é um ponto fixo. A mesma desigualdade de contração garante a unicidade.

Um teorema local preciso de existência e unicidade

Voltemos às equações diferenciais. Primeiro provaremos uma versão precisa do teorema de Cauchy–Lipschitz, com hipóteses que permitem aplicar diretamente o teorema de Banach.

Fixe $\delta>0$ e $(t_0,x_0)\in\mathbb R\times\mathbb R^n$. Considere o compacto

$$A= \left\{ (t,x)\in\mathbb R\times\mathbb R^n: |t-t_0|\leq\delta, \ |x-x_0|\leq\delta \right\}.$$

Suponha que $f:A\to\mathbb R^n$ seja contínua e que existam $M,C>0$ tais que

$$|f(t,x)|\leq M \qquad\text{para todo }(t,x)\in A,$$

e

$$|f(t,x)-f(t,y)| \leq C|x-y|$$

sempre que $(t,x),(t,y)\in A$.

A constante $M$ controla quanto uma solução pode se afastar de $x_0$ durante certo intervalo de tempo. A constante $C$ mede quanto o campo vetorial pode separar duas curvas. Defina

$$T= \min\left\{ \delta, \frac{\delta}{2M}, \frac{1}{2C} \right\}$$

e $J=[t_0-T,t_0+T]$. As três restrições têm papéis diferentes: $T\leq\delta$ mantém o tempo dentro de $A$; $MT\leq\delta/2$ mantém a curva dentro da bola espacial; e $CT\leq1/2$ fará a aplicação de Picard ser contrativa.

Teorema. Sob essas hipóteses, existe uma única função $x\in C^1(J;\mathbb R^n)$ tal que

$$\dot{x}(t)=f(t,x(t)), \qquad x(t_0)=x_0,$$

e $(t,x(t))\in A$ para todo $t\in J$.

O espaço métrico completo

Considere a bola fechada

$$\overline B(x_0,\delta) = \{x\in\mathbb R^n:|x-x_0|\leq\delta\}$$

e defina

$$E=C\bigl(J;\overline B(x_0,\delta)\bigr).$$

Restringir a imagem das curvas é necessário porque só controlamos $f$ no conjunto $A$. Com a distância

$$d_\infty(y,z) = \lVert y-z\rVert_\infty,$$

o espaço $E$ é não vazio e completo: a bola fechada $\overline B(x_0,\delta)$ é completa, e limites uniformes de funções contínuas continuam sendo contínuos.

A aplicação de Picard envia $E$ em si mesmo

Para $y\in E$, defina

$$\Phi(y)(t) = x_0+\int_{t_0}^{t}f(s,y(s))\,ds.$$

A função $\Phi(y)$ é contínua e, para todo $t\in J$,

$$\begin{aligned} |\Phi(y)(t)-x_0| &\leq\left|\int_{t_0}^{t}|f(s,y(s))|\,ds\right|\\ &\leq M|t-t_0|\\ &\leq MT\\ &\leq\frac{\delta}{2}. \end{aligned}$$

Logo, $\Phi(y)$ permanece em $\overline B(x_0,\delta)$ e

$$\Phi:E\longrightarrow E.$$

A aplicação de Picard é contrativa

Sejam $y,z\in E$. Para cada $t\in J$,

$$\begin{aligned} |\Phi(y)(t)-\Phi(z)(t)| &\leq \left|\int_{t_0}^{t}|f(s,y(s))-f(s,z(s))|\,ds\right|\\ &\leq C\left|\int_{t_0}^{t}|y(s)-z(s)|\,ds\right|\\ &\leq CT\lVert y-z\rVert_\infty\\ &\leq\frac12\lVert y-z\rVert_\infty. \end{aligned}$$

Tomando o supremo em $t\in J$,

$$\lVert\Phi(y)-\Phi(z)\rVert_\infty \leq \frac12\lVert y-z\rVert_\infty.$$

Portanto, $\Phi$ é uma contração no espaço métrico completo $E$. O teorema de Banach fornece uma única função $x\in E$ tal que $\Phi(x)=x$, isto é,

$$x(t) = x_0+\int_{t_0}^{t}f(s,x(s))\,ds.$$

Pelo lema da formulação integral, $x$ é uma solução $C^1$ do problema de Cauchy. A unicidade do ponto fixo dá a unicidade entre as soluções cujos gráficos permanecem em $A$ durante o intervalo $J$.

É aqui que o método de Picard reaparece de forma natural. As funções

$$y_{n+1}=\Phi(y_n)$$

são exatamente as aproximações sucessivas usadas na demonstração de Banach, agora construídas no espaço funcional $E$.

O teorema de Cauchy–Lipschitz para um campo $C^1$

O teorema anterior deixa todas as estimativas visíveis. Na prática, porém, é mais comum conhecer a regularidade de $f$ do que dispor previamente das constantes $M$ e $C$. A hipótese $f\in C^1$ produz localmente as duas estimativas necessárias.

Corolário. Sejam $I\subseteq\mathbb R$ e $U\subseteq\mathbb R^n$ abertos, e seja

$$f:I\times U\longrightarrow\mathbb R^n$$

de classe $C^1$. Para todo $(t_0,x_0)\in I\times U$, existem $T>0$ e uma solução

$$x:[t_0-T,t_0+T]\longrightarrow U$$

do problema

$$\dot{x}(t)=f(t,x(t)), \qquad x(t_0)=x_0.$$

Além disso, essa solução é localmente única.

Existência

Como $I\times U$ é aberto e contém $(t_0,x_0)$, podemos escolher $\delta>0$ de modo que

$$A= \left\{ (t,x):|t-t_0|\leq\delta,\ |x-x_0|\leq\delta \right\}$$

esteja contido em $I\times U$. O conjunto $A$ é compacto. Pela continuidade de $f$, existe $M>0$ tal que

$$|f(t,x)|\leq M \qquad\text{em }A.$$

Denote por $\mathrm J_f(t,x)$ a matriz jacobiana de $f$ com respeito à variável $x$. Para uma transformação linear $L$, usamos a norma induzida pela norma euclidiana:

$$\lVert L\rVert = \sup_{|v|=1}|Lv|.$$

Como $f$ é de classe $C^1$, a aplicação $(t,x)\mapsto\mathrm J_f(t,x)$ é contínua. Logo, é limitada no compacto $A$: existe $C>0$ tal que

$$\lVert\mathrm J_f(t,x)\rVert\leq C \qquad\text{em }A.$$

A bola $\overline B(x_0,\delta)$ é convexa. Pelo Teorema do Valor Médio, para $(t,x),(t,y)\in A$,

$$|f(t,x)-f(t,y)| \leq \left( \sup_{z\in\overline B(x_0,\delta)} \lVert\mathrm J_f(t,z)\rVert \right)|x-y| \leq C|x-y|.$$

As hipóteses do teorema local preciso estão satisfeitas. Portanto, com

$$T= \min\left\{ \delta, \frac{\delta}{2M}, \frac{1}{2C} \right\},$$

existe uma solução em $[t_0-T,t_0+T]$.

O papel da hipótese $C^1$ fica, assim, bem concreto: a continuidade limita o campo vetorial numa vizinhança compacta, enquanto a jacobiana limitada torna $f$ Lipschitz na variável $x$.

Unicidade local

O argumento de ponto fixo dá unicidade entre as curvas que permanecem na bola escolhida. Para comparar a solução $x$ com uma solução qualquer $\widetilde x$ de mesma condição inicial, restringimos as duas a um intervalo suficientemente pequeno ao redor de $t_0$. Pela continuidade, ambas permanecem em $\overline B(x_0,\delta)$ nesse intervalo e satisfazem a mesma equação integral. A unicidade do ponto fixo implica então

$$\widetilde x(t)=x(t).$$

O mesmo raciocínio pode ser repetido enquanto as duas soluções permanecerem no domínio comum. Assim, elas coincidem em todo intervalo comum que contenha $t_0$.

Concluímos que um campo vetorial $C^1$ determina uma única solução local passando por cada condição inicial. A afirmação é local porque toda a construção utiliza apenas uma vizinhança compacta de $(t_0,x_0)$; prolongar a solução além dela é outra questão.

Conclusão

Partimos de uma pergunta que o método de Picard, quando apresentado apenas como uma sequência de estimativas, não responde de maneira satisfatória: por que a iteração produz uma solução e por que essa solução é única? O teorema do ponto fixo de Banach mostra que as duas respostas pertencem ao mesmo argumento.

A equação diferencial é primeiro reescrita como

$$x(t) = x_0+\int_{t_0}^{t}f(s,x(s))\,ds.$$

Essa fórmula define a aplicação de Picard sobre um espaço métrico completo de funções contínuas. A limitação de $f$ mantém as imagens dentro do espaço escolhido; a condição de Lipschitz na variável de estado torna a aplicação contrativa. Banach nos fornece então um único ponto fixo, que é justamente a solução do problema de Cauchy.

As aproximações de Picard

$$y_{n+1}=\Phi(y_n)$$

deixam, portanto, de parecer um artifício isolado. Elas são a parte construtiva do teorema de Banach. A contração faz as aproximações se aproximarem, a completude garante que seu limite pertence ao espaço funcional e a formulação integral transforma esse ponto fixo novamente numa solução da equação diferencial.

O resultado continua sendo local. Ele não determina até onde a solução poderá ser prolongada nem quais fenômenos podem impedir sua existência global. Essas perguntas levam à teoria das soluções maximais e do prolongamento.

Para o problema local, porém, a ideia central fica exposta: o método de Picard funciona porque é o método das aproximações sucessivas de Banach aplicado num espaço de funções cuidadosamente escolhido. Existência e unicidade não são dois pequenos milagres separados; são consequências do mesmo princípio de ponto fixo.